树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值。
修改和求和的时间复杂度：logn
设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。
例如：
C1（0001） = A1 k=0，管辖区域1
C2（0010） = A1 + A2 k=1，管辖区域2
C3（0011） = A3 k=0，管辖区域1
C4（0100） = A1 + A2 + A3 + A4 k=1，管辖区域2
C5（0101） = A5 k=0，管辖区域1
C6（0110） = A5 + A6 k=1，管辖区域2
C7（0111） = A7 k=0，管辖区域1
C8 （1000）= A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 k=3，管辖区域8
求和：
step1: 令sum = 0，转第二步；
step2: 假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；
step3: 令n = n – lowbit(n)，转第二步。
lowbit操作：求二进制末尾的1的位置，与自身负数进行与操作
//求二进制末尾的1的位置int lowbit(int x){ return x&-x;}
update操作：
//更新第k位置+x，如果是减就传入-xvoid update(int k,int x){ //修改所有管辖到k的位置，直到大于所有的个数 while(k<=n) { tree[k]+=x; //寻找下一个位置 k+=lowbit(k); }}
Query操作：这里是求和
//其实是update的逆操作int query(int k){ int res=0; while(k) { res+=tree[k]; k-=lowbit(k); } return res;}
例题：HDU1166
敌兵布阵
Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 128070 Accepted Submission(s): 53664
Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。 中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。。。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。 每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。 接下来每行有一条命令，命令有4种形式： (1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30） (2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）; (3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数; (4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现; 每组数据最多有40000条命令
Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车, 对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。
Sample Input
1101 2 3 4 5 6 7 8 9 10Query 1 3Add 3 6Query 2 7Sub 10 2Add 6 3Query 3 10End
Sample Output
Case 1:63359
Source
题意：很显然，直接暴力会超时，这个用线段树也可以，这里用树状数组来实现。
代码：
#include#include #include #include using namespace std;int tree[50005];int T,n,x,y;string s;int lowbit(int x){ return x&-x;}//更新void update(int k,int x){ while(k<=n) { tree[k]+=x; k+=lowbit(k); }}//求和int query(int k){ int res=0; while(k) { res+=tree[k]; k-=lowbit(k); } return res;}int main(){ scanf("%d",&T); for (int cnt=1;cnt<=T;cnt++) { printf("Case %d:\n",cnt); scanf("%d",&n); memset(tree,0,sizeof(tree)); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&x); update(i,x); } while(cin >> s && s!="End") { if (s=="Query") { scanf("%d%d",&x,&y); printf("%d\n",query(y)-query(x-1)); } else if (s=="Add") { scanf("%d%d",&x,&y); update(x,y); } else { scanf("%d%d",&x,&y); update(x,-y); } } } return 0;}